Описание системы древнерусских дробей в доцифирном периоде
На русской земле первым математиком, изложившим деление целого на части, стал новгородский монах Кирик. В 1136 году он написал труд, в котором изложил метод «счисления лет».
Неизбежность перехода к цифирному представлению дробей.
Появлению «дощаного счета», вызванного сложными расчетами принятой во второй половине XVI в. единой налоговой поземельной единицы (большой сохи), предшествовала более простая система – счет на плодовых косточках. Об этом упоминает опричник немец Генрих Штаден: «В Русской земле счет ведут при помощи сливяных косточек».
В сошной арифметике приходилось иметь дело и с более мелкими дробями. В некоторых рукописях приводятся чертежи и описания «дощиц счетных», аналогичных только что рассмотренным, но с большим числом рядов с одной костью, так что на них можно откладывать доли до 1/128 и 1/96. Несомненно, что изготовлялись и соответствующие приборы. Для удобства вычислителей приводилось много правил «Свода мелких костей», т.е. сложения употребительных в сошном счете дробей, вроде: три чети сохи да полчети сохи да пол-полчети сохи и т.д. вплоть до пол-пол-пол-пол-полчети сохи составляют соху без пол-пол-пол-пол-полчети, т.е. 3/4+1/8+1/16+1/32 +1/64 + 1/128 = 1 - 1/128 и т.п. Но из дробей рассматривались только 1/2 и 1/3, а также полученные из них при помощи последовательного деления на 2. Для действий с дробями других рядов "дощаный счет" приспособлен не был. При оперировании с ними нужно было обращаться к специальным таблицам, в которых приводились итоги разного сочетания дробей.
При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7 – седмина, 1/5 – пятина, 1/10 – десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13 – пять тринадцатых жеребьёв. Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников… Числитель назывался верхним числом, знаменатель исподним».
Исследования в области сошной арифметики
Введение «большой сохи» должно было способствовать унификации налоговой системы. Для расчета налогов было необходимо вычислить коэффициенты с учетом качества земли и сословного положения владельцев. На их основании устанавливалась условная мера — соха.
В рецензии на книгу «Арифметика в Московском государстве XVI века» Р.А. Симонов пишет о расшифровке древнерусских способов счета в системе «сошных дробей» (подсчета налогов с сохи), предложенной М.А. Цайгером.
«М.А. Цайгер воспроизводит одну из таких формул, которая в древнерусских сошных дробях звучит так: «Четь да полчети да пол-полтрети да пол-полполтрети, итого треть и полтрети сохи». В современном обозначении дробей она может быть выражена следующим равенством: 1/4 + 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1/3+1/6. Смысл равенства состоял в переводе одних сошных дробей в другие, что было нужно для рационализации вычислений при взимании налога с угодий, состоящих из участков владений различной величины и ценности (пашни, леса, луга и прочее)
Книги сошного письма- рукописные сборники, содержащие рекомендации по описанию земель и прочего имущества. Самая древняя книга датируется 1629 годом.
Первые сошные книги были составлены ввиду податной реформы. Так как земледелие являлось основой экономики Древней Руси, то за единицу налогообложения взяли соху (количество распаханной земли, 2-3 лошадями за один световой день, площадь которой зависела от качества почвы (различали худую, среднюю, добрую, безугодную земли) и категории землевладения (поместные, монастырские, вотчинные и др.)
Соха, кроме меры площади земли, была ещё и финансовой единицей. Она выражала капитал, с которого брали процентный налог и налог, который уплачивали купцы и посадские люди.
“Роспись сошному письму, как которая кость с которою костью кладётся” была частью рукописи, содержащей сошные письма. Она представляла собой таблицу сумм, получаемых от вложения различных частей сохи.
Практическая значимость рукописи, на мой взгляд состояла в том, чтобы помочь людям, участвующих в межевании земли делать более точные (а, значит, справедливые! ) расчёты. Ведь немногие тогда умели выполнять действия с дробями, тем более земледельцы крестьяне.
